已知函數(shù)f（x）=數(shù)學(xué)公式-x（0＜x＜數(shù)學(xué)公式）．
（Ⅰ）求數(shù)學(xué)公式；
（Ⅱ）求證：不等式sin3x＞x3cosx在數(shù)學(xué)公式上恒成立；
（Ⅲ）求g（x）=數(shù)學(xué)公式在數(shù)學(xué)公式的最大值．

（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵-1==…
∴…
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，其中f（0）=0
令G（x）=f'（x），則
=在上恒成立
故G（x）在上為增函數(shù)，故f′（x）＞f′（0）=0，…
所以f（x）在上為增函數(shù)，故f（x）＞f（0）=0，
即sin3x＞x3cosx，…
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin3x-x3cosx＞0在上恒成立．
則g′（x）=＞0在上恒成立． …
即g（x）在單調(diào)遞增
于是…
分析：（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），直接令x=，代入求值即可．
（Ⅱ）觀察不等式與函數(shù)解析式的關(guān)系，只需證明f（x）在f（x）＞=0，．利用導(dǎo)數(shù)考察單調(diào)性及最值，作出證明．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知sin3x-x3cosx＞0在上恒成立．則g′（x）=＞0上恒成立． 即g（x）在單調(diào)遞增，最大值可求．
點(diǎn)評：本題考查基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算，考查導(dǎo)數(shù)工具證明不等式，考查函數(shù)最值的求解，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸思想．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sinxcosφ+cosxsinφ（其中x∈R，0＜φ＜π）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)的圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱，求φ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x，
（1）求x＜0，時f（x）的表達(dá)式；
（2）若關(guān)于x的方程f（x）-a=o有解，求實(shí)數(shù)a的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（文科可參考公式：(Inx)′=
1
x
）
（2）若f′（2）=1，記函數(shù)g（x）=x3+x2•[f′(x)+
m
2
]，若g（x）在區(qū)間（1，3）上總不單調(diào)，求實(shí)數(shù)m的范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點(diǎn)A（1，f（1））處的切線l與直線3x-y+2=0平行，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項(xiàng)和為Sn，則S2010的值為（　�。�
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）是定義在區(qū)間（-1，1）上的奇函數(shù)，且對于x∈（-1，1）恒有f’（x）＜0成立，若f（-2a2+2）+f（a2+2a+1）＜0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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