已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程為.
(Ⅰ)求實數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(Ⅲ)若曲線上存在兩點使得是以坐標原點為直角頂點的直角三角形,且斜邊的中點在軸上,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅰ);(Ⅱ)當在[-1,2]上的最大值為2,
在[-1,2]上的最大值為;(Ⅲ).

試題分析:(Ⅰ)由題意先對時的函數(shù)進行求導(dǎo),易得,解得;(Ⅱ)因為函數(shù)為分段函數(shù),要求在區(qū)間上的最大值,需分別求區(qū)間上的最大值,當時,應(yīng)對函數(shù)進行求導(dǎo),求函數(shù)的單調(diào)性,從而求區(qū)間上的最大值;當時,應(yīng)對函數(shù)兩種情況討論,可得結(jié)論;(Ⅲ)根據(jù)條件可知的橫坐標互為相反數(shù),不妨設(shè),其中,若,則,由是直角,得,即,方程無解;若,則由于中的中點在軸上,且,所以點不可能在軸上,即同理有,得的范圍是.
試題解析:(I)當,
因為函數(shù)圖象在點處的切線方程為,
所以切點坐標為解得.       4分
(II)由(I)得,當,令,
可得上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以在的最大值為,當時,,
時,恒成立此時在[-1,2]上的最大值為
在[1,2]上單調(diào)遞增,且,

所以當在[-1,2]上的最大值為,
在[-1,2]上的最大值為,
綜上可知,當在[-1,2]上的最大值為2,
時當在[-1,2]上的最大值為.            9分
(III)根據(jù)條件可知的橫坐標互為相反數(shù),
不妨設(shè),其中
,則,由是直角,得,即
此方程無解;
,則由于中的中點在軸上,且,所以點不可能在軸上,
同理有,,
由于函數(shù)的值域是
所以實數(shù)的取值范圍是                      14分
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已知 ,則            .

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