Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB=AD=1，DC=2，PD=

2

，M為棱PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：DM⊥平面PBC；
（Ⅱ）求二面角A-DM-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連結(jié)BD，取DC的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，由已知條件推導(dǎo)出BC⊥DM，DM⊥PB，由此能證明DM⊥平面SDC．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A-DM-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)BD，取DC的中點(diǎn)G，連結(jié)BG，
由題意知DG=GC=BG=1，即△DBC是直角三角形，∴BC⊥BD，
又PD⊥平面ABCD，∴BC⊥PD，
∴BC⊥平面BDP，BC⊥DM，
又PD=BD=

2

，PD⊥BD，M為PB的中點(diǎn)，
∴DM⊥PB，∵PB∩BC=B，
∴DM⊥平面SDC．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），
P（0，0，

2

），M（

1

2

，

1

2

，

2

2

），
設(shè)平面ADM的法向量

n1

=(x，y，z)，
則

n1 • DA =x=0 n1 • DM =- x 2 + y 2 + 2 z 2 =0

，
取y=

2

，得

n1

=(0，

2

，-1)，
同理，設(shè)平面ADM的法向量

n2

=(x1，y1，z1)，
則

n2 • DC =y1=0 n2 • DM = x1 2 - y1 2 + 2 z1 2 =0

，
取x1=

2

，得

n2

=（

2

，0，1），
cos＜

n1

，

n2

＞=-

1

3

，
∵二面角A-DM-C的平面角是鈍角，
∴二面角A-DM-C的余弦值為-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．