Question

若定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），f（x）在（0，+∞）上的圖象如圖所示，則不等式f（x）f′（x）＞0的解集是（ ）
A．（-∞，-1）∪（0，1）
B．（-1，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪（1，+∞）
D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

【答案】分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性及單調(diào)性，由f（x）為偶函數(shù)，我們可以根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)--偶函數(shù)的圖象關(guān)于Y軸對(duì)稱，判斷出函數(shù)圖象在Y軸左側(cè)的情況，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)的意義，不難求出等式f（x）f′（x）＞0的解集．
解答：解：由圖可知：
f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，
則在區(qū)間（0，+∞）上f'（x）＞0．
又由f（x）為偶函數(shù)．
則f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，
則在區(qū)間（-∞，0）上f'（x）＜0．
由f（-1）=f（1）=0可得
在區(qū)間（-∞，-1）上f'（x）＜0，f（x）＞0．
在區(qū)間（-1，0）上f'（x）＜0，f（x）＜0．
在區(qū)間（0，1）上f'（x）＞0，f（x）＜0．
在區(qū)間（1，+∞）上f'（x）＞0，f（x）＞0．
故不等式f（x）f′（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
故選B
點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便，f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)），反之，f（x）在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)（或減函數(shù)），則f′（x）＞0（或f′（x）＜0）．