Question

已知a∈[

1

2

，2]，若f（x）=ax²-4x+2在區(qū)間[1，4]上最大值為M（a），最小值為N（a），令g（a）=M（a）-N（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）討論g（a）在[

1

2

，

4

5

]上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)a∈[

1

2

，

4

5

]時(shí)，證明2a²+4≥g（a）．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的對(duì)稱軸，判斷對(duì)稱軸與區(qū)間的關(guān)系，求出f（x）的最小值；討論對(duì)稱軸與區(qū)間中點(diǎn)的位置關(guān)系，求出最大值；利用最大值減去最小值求出g（a）
（2）求出a∈[

1

2

，

4

5

]時(shí)g（a）的導(dǎo)函數(shù)，判斷出其符號(hào)，得到g（a）的單調(diào)性．
（3）利用（2）的單調(diào)性求出g（a）的最大值；求出二次函數(shù)2a²+4的最小值，該最小值大于等于g（a）的最大值，
得證．

解答：解：（1）f（x）的對(duì)稱軸為x=

2

a

∵a∈[

1

2

，2]
∴

2

a

∈[1，4]
∴當(dāng)x=

2

a

時(shí)，f（x）最小為N（a）=2-

4

a

①

4

5

≤a≤4時(shí)，當(dāng)x=4時(shí)最大為M（a）=16a-14
②

1

2

≤a＜

4

5

時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)最大為M（a）=a-2
∴g(a)=

16a+ 4 a -16( 4 5 ≤a≤4) a+ 4 a -4   ( 1 2 ≤a＜ 4 5 )

（2）a∈[

1

2

，

4

5

]時(shí)g(a)=a+

4

a

-4
∵g′(a)=1-

4

a2

=

a2-4

a2

＜0
∴g(a)在[

1

2

，

4

5

]上遞減
證明（3）∵g(a)在[

1

2

，

4

5

]上遞減
∴當(dāng)a=

1

2

時(shí)g（a）最大，最大值為

1

2

+4=

9

2

∵2a2+4≥2×(

1

2

)2+4=

9

2

即∵2a²+4≥g（a）_max
∴2a²+4≥g（a）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的最值的求法，其最值取決于對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系、考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)方法．