Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

2an+1

（n∈N）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）設：

2

bn

=

1

an

+1 求數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項的和T_n；
（3）已知P=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b2_n-1），求證：Pn＞

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2且

1

a1

=1，所以 

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，由此得an=

1

2n-1

．
（2）由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，∴bn=

1

n

，從而：bnbn+1=

1

n(n+1)

，由裂項求和法能得到數(shù)列{b_nb_n+1}的前n項的和T_n．
（3）由P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=

2

1

×

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

，（4n）²＜（4n）²-1，知

2n+1

2n

＜

2n

2n-1

，由此能夠證明Pn＞

2n+1

．

解答：解：（1）由a_n+1=

an

2an+1

得：

1

an+1

-

1

an

=2且

1

a1

=1，
所以知：數(shù)列{

1

an

}是以1為首項，以2為公差的等差數(shù)列，
所以 

1

an

=1+2(n-1)=2n-1，得an=

1

2n-1

．
（2）由

2

bn

=

1

an

+1得：

2

bn

=2n-1+1=2n，∴bn=

1

n

，
從而：bnbn+1=

1

n(n+1)

，
則 T_n=b₁b₂+b₂b₃+…+b_nb_n+1=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+（

1

3

-

1

4

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）
=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）已知P_n=（1+b₁）（1+b₃）（1+b₅）…（1+b_2n-1）=

2

1

×

4

3

×

6

5

×…×

2n

2n-1

，
∵（4n）²＜（4n）²-1，∴

2n+1

2n

＜

2n

2n-1

設：Tn=

3

2

×

5

4

×…×

2n+1

2n

，則P_n＞T_n
從而：Pn2＞PnTn=

2

1

×

3

2

×

4

3

×…×

2n

2n-1

×

2n+1

2n

=2n+1，
故：Pn＞

2n+1

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式、前n項和的求法和數(shù)列與不等式的綜合運用，解題時要注意構造法、裂項求和法的合理運用．