設函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，給出以下四個命題：
①當c=0時，有f（-x）=-f（x）成立；
②當b=0，c＞0時，方程f（x）=0，只有一個實數(shù)根；
③函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，c）對稱 
④當x＞0時；函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c，f（x）有最小值是c-
b2
2
．
其中正確的命題的序號是（　�。�
分析：根據(jù)“奇”ד偶”=“奇”，“奇”+“奇”=“奇”，可得c=0時函數(shù)為奇函數(shù)，進而根據(jù)奇函數(shù)定義可判斷①；
當b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，方程f（x）=0只有一個實根，故②正確；
利用函數(shù)圖象關于點對稱的定義，可證得函數(shù)f（x）圖象關于點（0，c）對稱，故③正確；
當x＞0時；函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論，b取不同值時，函數(shù)的最小值可判斷④
解答：解：當c=0時，函數(shù)f（x）=x|x|+bx為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）恒成立，故①正確；
b=0時，得f（x）=x|x|+c在R上為單調(diào)增函數(shù)，且值域為R，故方程f（x）=0，只有一個實數(shù)根，故②正確；
對于③，因為f（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函數(shù)f（x）的圖象關于點（0，c）對稱，故③正確；
當x＞0時；函數(shù)f（x）=x|x|+bx+c=x2+bx+c，當b≤0時，f（x）有最小值是c，當b＞0時，f（x）有最小值是c-
b2
2
故④不正確．
故選D
點評：本題以命題真假的判斷為載體，考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、圖象的對稱性和函數(shù)零點與等知識，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設曲線y=f（x）在與x軸交點處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設h（x）=lnf′（x），若對一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構(gòu)成一個無窮等差數(shù)列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數(shù)為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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