Question

已知，函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）設(shè)，若，總，使得成立，求的取值范圍；
（3）對于任意的正整數(shù)，證明：．

Answer 1

（1）單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間，（2）；（3）略

本試題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
解 （1）令，解得（舍去），

	0	()		(1)	1
		__	0	+
		↘		↗

單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間，；…… 4分
（2）∵，
∴當(dāng)時(shí)，…………………6分
∴為上的減函數(shù)，從而當(dāng)時(shí)有，…8分
由題意知：，
即故 ；………………… 10分
（3）構(gòu)造函數(shù)：，
則，………………… 11分
當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)增，………………… 12分
∴時(shí)，恒有，……13分
即 恒成立，…………………14分
故對任意正整數(shù)，取有．