Question

如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求證：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設AC與BD相交于點O，連接FO．因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點．由FA=FC，知AC⊥FO．由此能夠證明AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，平面FBC∥平面EAD．由此能夠證明FC∥平面EAD．
（Ⅲ）因為四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF為等邊三角形．因為O為BD中點，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF兩兩垂直，建立空間直角坐標系O-xyz．設AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，則BD=2，所以 ，．求得平面BFC的法向量為，平面AFC的法向量為=（0，1，0）．由此能求出二面角A-FC-B的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：設AC與BD相交于點O，
連接FO．因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD，且O為AC中點．   …（1分）
又 FA=FC，所以 AC⊥FO．  …（3分）
因為 FO∩BD=O，
所以 AC⊥平面BDEF．  …（4分）
（Ⅱ）證明：因為四邊形ABCD與BDEF均為菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF，
所以 平面FBC∥平面EAD．…（7分）
又FC?平面FBC，所以FC∥平面EAD．      …（8分）
（Ⅲ）解：因為四邊形BDEF為菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF為等邊三角形．
因為O為BD中點，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz． …（9分）
設AB=2．因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，
則BD=2，所以OB=1，．所以 ．
所以 ，．
設平面BFC的法向量為=（x，y，z），
則有，
取x=1，得．
∵平面AFC的法向量為=（0，1，0）．    …（11分）
由二面角A-FC-B是銳角，得|cos＜，＞|==．
所以二面角A-FC-B的余弦值為．…（12分）
點評：本題考查直線與平面垂直、直線與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，合理地進行等價轉化，注意向量法的合理運用．