Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)滿足f（0）=0，f′（1）=0，且f（x）在R上單調(diào)遞增．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f′（x）-m•x在區(qū)間[m，m+2]上的最小值為-5，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)滿足f（0）=0，知d=0，由f′(x)=ax2-

1

2

x+c，f′（1）=0，知a-

1

2

+c=0，由f（x）在R上單調(diào)遞增，能求出f（x）的解析式．
（2）由f′(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

，知g（x）=f′（x）-mx=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

，由對(duì)稱軸為x=2m+1．分情況討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系能夠求出滿足題意的m的值．

解答：解：（1）∵數(shù)f(x)=

1

3

ax3-

1

4

x2+cx+d(a，c，d∈R，a≠0)滿足f（0）=0，
∴d=0，
∴f′(x)=ax2-

1

2

x+c，
∵f′（1）=0，
∴a-

1

2

+c=0，
∵f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴f′(x)=ax2-

1

2

x+c≥0，x∈R，
∴ax2-

1

2

x+

1

2

-a≥0，x∈R．
故：

a＞0 (- 1 2 )2-4a( 1 2 -a)≤0

，
∴a=

1

4

，于是c=

1

4

，
故f（x）=

1

12

x3-

1

4

x2+

1

4

x．
（2）f′(x)=

1

4

x2-

1

2

x+

1

4

，
故g（x）=f′（x）-mx
=

1

4

x2-(

1

2

+m)x+

1

4

，
對(duì)稱軸為x=2m+1．下面分情況討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系：
①

2m+1＜m gmin(x)=g(m)=-5

，

m＜-1 m2 4 -( 1 2 +m)m+ 1 4 =-5

，

m＜-1 m2 4 -( 1 2 +m)m+ 1 4 =-5

，
∴m=-3，（m=

7

3

舍去）；
②當(dāng)

m≤2m+1＜m+2 gmin=g(2m+1)=-5

時(shí)，

-1≤m＜1 m= -1± 21 2

，
∴m∈∅；
③當(dāng)

2m+1≥m+2 g(m+2)=-5

時(shí)，

m≥1 m=-1±2 2

，
∴m=-1+2

2

；
綜上可得，滿足題意的m有m=-3或m=-1+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．易錯(cuò)點(diǎn)是分類討論時(shí)容易出現(xiàn)分類不清的錯(cuò)誤．