設函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2+bx+c，其中a＞0，曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為x軸
（1）若x=1為f（x）的極值點，求f（x）的解析式
（2）若過點（0，2）可作曲線y=f（x）的三條不同切線，求a的取值范圍．
分析：（1）考查導數(shù)的運用，理清題意，列出方程解出a、b、c，從而確定解析式
（2）考查學生構建函數(shù)能力，要求學生要有一定的轉(zhuǎn)化能力，利用導數(shù)求出函數(shù)的極大值和極小值，數(shù)形結合解決
解答：解：由f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2+bx+c得：f（0）=c，f'（x）=x2-ax+b，f'（0）=b．
又由曲線y=f（x）在點P（0，f（0））處的切線方程為x軸，得f（0）=0，f'（0）=0．
故b=0，c=0．（2分）
（I）又f'（1）=0，
所以a=1，f(x)=
1
3
x3-
1
2
x2（4分）
（II）f(x)=
1
3
x3-
a
2
x2，f′(x)=x2-ax．由于點（t，f（t））處的切線方程為y-f（t）=f'（t）（x-t），而點（0，2）在切線上，
所以2-f（t）=f'（t）（-t），
化簡得
2
3
t3-
a
2
t2+2=0，即t滿足的方程為
2
3
t3-
a
2
t2+2=0．（6分）
過點（0，2）可作y=f（x）的三條切線，等價于方程2-f（t）=f'（t）（0-t）
有三個相異的實根，即等價于方程
2
3
t3-
a
2
t2+2=0有三個相異的實根.設g(t)=
2
3
t3-
a
2
t2+2．g′(t)=2t2-at=2t(t-
a
2
)．由于a＞0，
故有精英家教網(wǎng)
由g（t）的單調(diào)性知：要使g（t）=0有三個相異的實根，
當且僅當
g(0)＞0
g(
a
2
)＜0
時滿足，
即
2＞0
2-
a3
24
＜0
，a＞2
36
．
∴a的取值范圍是(2
36
，+∞).（12分）
點評：本題考查導數(shù)的綜合運用以及數(shù)形結合的運用能力，對學生有一定的能力要求，有一定的難度
練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•河南模擬）設函數(shù)f(x)=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（Ⅰ）當a=1時，過原點的直線與函數(shù)f（x）的圖象相切于點P，求點P的坐標；
（Ⅱ）當0＜a＜
1
2
時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當a=
1
3
時，設函數(shù)g(x)=x2-2bx-
5
12
，若對于?x1∈（0，e]，?x2∈[0，1]使f（x1）≥g（x2）成立，求實數(shù)b的取值范圍．（e是自然對數(shù)的底，e＜
3
+1）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•株洲模擬）設x0是函數(shù)f(x)=(
1
3
)x-log2x的零點．若0＜a＜x0，則f（a）的值滿足（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
(
1
3
)x-8(x≤0)
x
     (x＞0)
，若f（a）＞1，則實數(shù)a的取值范圍為
a＞1或a＜-2
a＞1或a＜-2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
1
3
(a-1)x3-
1
2
ax2+x（a∈R）[
（Ⅰ）若y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸和直線x-2y=0圍成的三角形面積等于
1
4
，求a的值；
（II）當a＜2時，討論f（x）的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f(x)=
(
1
3
)x-8(x＜0)
x
(x≥0)
，若f（a）＞1，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

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