Question

某電臺(tái)“挑戰(zhàn)主持人，’節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關(guān)需要回答三個(gè)問題，其中前兩個(gè)問題回答正確各得10分，回答不正確得0分，第三個(gè)題目，回答正確得20分，回答不正確得-10分，總得分不少于30分即可過關(guān)．如果一位挑戰(zhàn)者回答前兩題正確的概率都是，回答第三題正確的概率為，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．記這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問題的總得分為ξ．
（1）這位挑戰(zhàn)者過關(guān)的概率有多大？
（2）求ξ的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（1）這位挑戰(zhàn)者有兩種情況能過關(guān)：
①第三個(gè)答對(duì)，前兩個(gè)一對(duì)一錯(cuò)，得20+10+0=30分，
②三個(gè)題目均答對(duì)，得10+10+20=40分，
其概率分別為P（ξ=30）=
P（ξ=40）==
這位挑戰(zhàn)者過關(guān)的概率為
P（ξ≥30）=P（ξ=30）+P（ξ=40）=
（2）如果三個(gè)題目均答錯(cuò)，得0+0+（-10）=-10分，
如果前兩個(gè)中一對(duì)一錯(cuò)，第二個(gè)錯(cuò)，得10+0+（-10）=0分；
前兩個(gè)錯(cuò)，第三個(gè)對(duì)，得0+0+20=20分；
如果前兩個(gè)對(duì)，第三個(gè)錯(cuò)，得10+10+（-10）=10分；
故ξ的可能取值為-10，0，10，20，30，40
P（ξ=-10）=，
P（ξ=0）=
P（ξ=10）=
P（ξ=20）=
P（ξ=30）=
P（ξ=40）=
∴ξ的數(shù)學(xué)期望是：-10×+
分析：（1）這位挑戰(zhàn)者有兩種情況能過關(guān)，包括兩種情況，①第三個(gè)答對(duì)，前兩個(gè)一對(duì)一錯(cuò)，②三個(gè)題目均答對(duì)，這兩種情況是互斥的，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率公式，寫出結(jié)果．
（2）這位挑戰(zhàn)者回答這三個(gè)問題的總得分為ξ，ξ的可能取值是-10，0，10，20，30，40，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，寫出變量對(duì)應(yīng)的概率，其中有兩個(gè)概率是在前一問做出的，做出期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，考查離散型隨機(jī)變量的期望，是一個(gè)綜合題目，這種題目可以作為解答題目出現(xiàn)在理科的高考卷中，是一個(gè)必得分題目．