Question

等差數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}滿足：a₁=b₁=1，a₂=b₂≠1，a₅=b₃，設(shè)c_n=a_n•b_n，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n=c₁+c₂+…+c_n，求S_n．

Answer 1

（1）因?yàn)榈炔顢?shù)列中a_n=1+（n-1）d；
等比數(shù)列中 b_n=q^n-1；
∴a₂=1+d=b₂=q；
a₅=1+4d=q²=（1+d）²；
得出d（d-2）=0；
因?yàn)閍₂=b₂≠1，，所以d=2，q=3；
a_n =2n-1；b_n=3^n-1
所以 c_n=（2n-1）3^n-1；
（2）S_n=c₁+c₂+…+c_n=1•3⁰+3•3¹+5•3²+…+（2n-1）3^n-1
3S_n=1•3¹+3•3²+5•3³+…+（2n-1）3ⁿ
3S_n-S_n=-1-2•3¹-2•3²-…-2•3^n-1+（2n-1）3ⁿ
=-1-2×

3[3n-1-1]

3-1

+（2n-1）3ⁿ
=（2n-2）3ⁿ+2
S_n=（n-1）3ⁿ+1．