Question

已知二次函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c和一次函數(shù)g(x)＝－bx，其中a，b，c滿足a＞b＞c，a＋b＋c＝0

(a，b，c∈R且a≠0)．

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點A，B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A₁B₁之長的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

思路　　本題只須將函數(shù)圖象交點問題轉(zhuǎn)化為方程解的問題即可． 　　解答　　(1)聯(lián)立 　　得ax2＋bx＋c＝0．① 　　Δ＝4(b2－ac)＝4[(a＋c)2－ac]＝4(a2＋ac＋c2) 　�。�4[(c＋)2＋a2]， 　　又∵a≠0，∴Δ＞0， 　　故兩函數(shù)圖象有兩個不同的交點． 　　(2)設(shè)①的兩個根為x1，x2，由韋達(dá)定理得 　　x1＋x2＝－，x1x2＝， 　　∴|A1B1|2＝|x2－x1|2＝＝4[(＋)2＋]． 　　∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0， 　　∴a＞－a－c＞c，3a＞a＋b＋c＝0， 　　即2a＞－c，－a＞2c，a＞0，∴∈(－2，－)． 　　此時|A1B1|2為∈(－2，－)上的減函數(shù)，從而|A1B1|2∈(3，12)，故|A1B1|的范圍是(，2)． 　　評析　　此題涉及一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象，一元二次方程，解不等式，一元二次函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍等多個知識點．由于二次函數(shù)問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心問題之一，是考查學(xué)生邏輯思維能力的重要題材，也是高考的熱點問題，因此要熟練掌握二次函數(shù)(圖象)與方程、不等式的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化．