Question

如圖，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E為棱CD的中點．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AED₁；
（Ⅱ）求證：平面AED₁⊥平面CDD₁．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)線面平行的判定定理，先證線線平行，再由線線平行證明線面平行即可；
（II）先由線線垂直證線面垂直，再由線面垂直證明面面垂直即可．
解答：證明：（Ⅰ）連接A₁D，交AD₁與F，連接EF，
由已知四邊形ADD₁A₁為矩形，∴F為AD₁的中點，
又E為CD的中點．∴EF為△AED₁的中位線．∴A₁C∥EF，
∵A₁C?平面AED₁，EF?平面AED₁，
∴A₁C∥平面AED₁；
（Ⅱ）由已知DD₁⊥AD，DD₁⊥BD，
又∵AD∩BD=D，AD?平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴DD₁⊥平面ABCD，∵AE?平面ABCD，∴AE⊥DD₁，
∵底面ABCD是菱形，且∠ABC=60°，E為棱CD的中點．∴AE⊥CD，
又CD∩DD₁=D，CD?平面CDD₁，DD₁?平面CDD₁，
∴AE⊥平面CDD₁C₁，
∵AE?平面AED₁，
∴平面AED₁⊥平面CDD₁．
點評：本題考查面面垂直的判定、線面平行的判定．