Question

1．設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{ex}$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a=2，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x＞0，都有f（x）＞e^-x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證明elnx+$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{{e}^{x-1}}$，先證出e^x≥x+1，再證明elnx+$\frac{1}{x}$≥0，令F（x）=elnx+$\frac{1}{x}$（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

解答 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{ex-a}{{ex}^{2}}$，
①a≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增；
②a＞0時(shí)，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{a}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{a}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{a}{e}$）遞減，在（$\frac{a}{e}$，+∞）遞增；
綜上，a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）遞增；
a＞0時(shí)，f（x）在（0，$\frac{a}{e}$）遞減，在（$\frac{a}{e}$，+∞）遞增；
（Ⅱ）要證明f（x）＞e^-x，
即證明elnx+$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{{e}^{x-1}}$，
下面證明：e^x≥x+1，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=e^x-（x+1），（x≥0），h′（x）=e^x-1，
令h′（x）=0，得：x=0，
x≥0時(shí)，h′（x）≥0即h（x）在[0，+∞）遞增，
∴h（x）≥h（0）=0，
于是有e^x＞x+1，x＞0，
故x＞0時(shí)，e^x-1＞x，
從而$\frac{1}{{e}^{x-1}}$＜$\frac{1}{x}$，
下面只需證明elnx+$\frac{2}{x}$≥$\frac{1}{x}$，
即證elnx+$\frac{1}{x}$≥0，
令F（x）=elnx+$\frac{1}{x}$（x＞0），
則F′（x）=$\frac{e}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ex-1}{{x}^{2}}$，
故F（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）遞增，
即F（x）≥F（$\frac{1}{e}$）=0，
∵x=$\frac{1}{e}$時(shí)，e^x-1＞x，
∴0＜$\frac{1}{{e}^{x-1}}$＜$\frac{1}{x}$，
∴elnx+$\frac{2}{x}$＞$\frac{1}{{e}^{x-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．