如圖,將一副三角板拼接,使它們有公共邊BC,若使兩個(gè)三角形所在的平面互相垂直,且∠BAC=90°,AB=AC,∠CBD=90°,∠BDC=60°,BC=6.
(Ⅰ)求證:平面ABD⊥平面ACD;
(Ⅱ)求二面角A-CD-B的平面角的正切值;
(Ⅲ)求點(diǎn)B到平面ACD的距離.

【答案】分析:(1)要證平面ABD⊥平面ACD,關(guān)鍵是證AC⊥平面ABD,只需證AC⊥BC,AC⊥AB,利用平面BCD⊥平面ABC,BD⊥BC可證;
(2)設(shè)BC中點(diǎn)為E,連AE,過E作EF⊥CD于F,連AF,由三垂線定理,可得∠EFA為二面角的平面角,從而可求;
(Ⅲ)過點(diǎn)E作EM⊥AF,垂足為M,則EM⊥平面ACD,設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h,根據(jù)E是BC的中點(diǎn),可得h=2EM,故可求
解答:解:(Ⅰ)∵平面BCD⊥平面ABC,BD⊥BC,平面BCD∩平面ABC=BC
∴BD⊥平面ABC,AC?平面ABC,
∴AC⊥BC 又AC⊥AB,BD∩AB=B,
∴AC⊥平面ABD 又AC?平面ACD,
∴平面ABD⊥平面ACD.
(Ⅱ)取BC中點(diǎn)E,連AE,過E作EF⊥CD于F,連AF,由三垂線定理知AF⊥CD
則∠EFA為二面角的平面角
∵△EFC∽△DBC,∴,
,又AE=3,

∴二面角的平面角的正切值為2
(Ⅲ)過點(diǎn)E作EM⊥AF,垂足為M,則EM⊥平面ACD
設(shè)點(diǎn)B到平面ACD的距離為h
∵E是BC的中點(diǎn)
∴h=2EM


點(diǎn)評:本題的考點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何綜合,主要考查面面垂直的判定與性質(zhì),考查二面角的平面角,考查點(diǎn)面的距離,有一定的綜合性
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,將一副三角板拼成直二面角A-BC-D,其中∠BAC=90°,AB=AC,∠BCD=90°,∠CBD=30°.
(1)求證:平面BAD⊥平面CAD;  
(2)求BD與平面CAD所成的角;
(3)若CD=2,求C到平面BAD的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

一副三角板拼成一個(gè)四邊形ABCD,如圖,然后將它沿BC折成直二面角.

(1)求證: 平面ABD⊥平面ACD;

(2)求ADBC所成的角;

(3)求二面角ABDC的大小. 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年安徽省江南十校高三素質(zhì)教育聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題

如圖是一副直角三角板.現(xiàn)將兩三角板拼成直二面角,得到四面體ABCD,則下列敘述正確的是. _________

②平面BCD的法向量與平面ACD的法向量垂直;③異面直線BC與AD所成的角為60%④四面體有外接球;⑤直線DC與平面ABC所成的角為300

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

將一副三角板如圖(1)拼好,其中AB=AC=2a,∠BAC=∠BCD=90°,∠CBD=30°.若將ABC沿BC折起,使二面角A-BC-D為直二面角,如圖(2).

(1)求證:AB⊥平面ACD;

(2)求二面角ABDC的大小;

(3)求點(diǎn)C到平面ABD的距離.

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