在橢圓x2＋4y2＝16中，求通過點M(2，1)且被這點平分的弦所在的直線的方程和弦長．

答案：
解析：

　　探究：題目中涉及弦的中點，既可考慮中點坐標公式，又可考慮“平方差法”．

　　解法一：當直線斜率不存在時，M不可能為弦中點，所以可設直線方程為y＝k(x－2)＋1，代入橢圓方程，消去y整理得：

　　(1＋4k2)x2－(16k2－8k)x＋16k2－16k－12＝0，

　　顯然1＋4k2≠0，Δ＝16(12k2＋4k＋3)＞0，

　　由x1＋x2＝＝4，解得k＝－．

　　故所求弦所在直線方程為：x＋2y－4＝0．

　　由消去x得：y2－2y＝0，

　　∴弦長＝()|y1－y2|＝．

　　解法二：設弦兩端點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

　　則

　�、郏艿茫�(x1＋y2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

　　再將①②代入上式得4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0

　　∵x1≠x2，∴k＝＝－．

　　以下同解法一．

　　規(guī)律總結：解法一是解這類問題的通法，但計算比較繁，解法二計算比較簡單，但不能保證直線與圓錐曲線有兩個交點，因此應用第二種方法解題時，必須判定滿足條件的直線是否存在，即把求出的直線方程與已知橢圓方程聯(lián)立，看是否滿足Δ＞0．


練習冊系列答案
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(2)若點P(a，b)(ab≠0)在橢圓x2＋4y2＝1上，試問：點Q能否在某一雙曲線上，若能，求出該雙曲線方程，若不能，說明理由；

(3)對(1)中點P所在圓方程M，設A、B是圓M上兩點，且滿足|OA|·|OB|＝1，試問：是否存在一個定圓S，使直線AB恒與圓S相切．

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⑴.已知a＝1，b＝2，p＝2，求點Q的坐標。

⑵.已知點P(a,b)（ab≠0）在橢圓+y2＝1上，p＝，求證：點Q落在雙曲線4x2－4y2＝1上。

⑶.已知動點P(a,b)滿足ab≠0，p＝，若點Q始終落在一條關于x軸對稱的拋物線上，試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由。

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