在橢圓x2+4y2=16中,求通過點M(2,1)且被這點平分的弦所在的直線的方程和弦長.
探究:題目中涉及弦的中點,既可考慮中點坐標公式,又可考慮“平方差法”. 解法一:當直線斜率不存在時,M不可能為弦中點,所以可設直線方程為y=k(x-2)+1,代入橢圓方程,消去y整理得: (1+4k2)x2-(16k2-8k)x+16k2-16k-12=0, 顯然1+4k2≠0,Δ=16(12k2+4k+3)>0, 由x1+x2==4,解得k=-. 故所求弦所在直線方程為:x+2y-4=0. 由消去x得:y2-2y=0, ∴弦長=()|y1-y2|=. 解法二:設弦兩端點P1(x1,y1),P2(x2,y2) 則 、郏艿茫(x1+y2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0, 再將①②代入上式得4(x1-x2)+8(y1-y2)=0 ∵x1≠x2,∴k==-. 以下同解法一. 規(guī)律總結:解法一是解這類問題的通法,但計算比較繁,解法二計算比較簡單,但不能保證直線與圓錐曲線有兩個交點,因此應用第二種方法解題時,必須判定滿足條件的直線是否存在,即把求出的直線方程與已知橢圓方程聯(lián)立,看是否滿足Δ>0. |
科目:高中數(shù)學 來源:新課程高中數(shù)學疑難全解 題型:044
點P在圓x2+(y-2)2=上移動,點Q在橢圓x2+4y2=4上移動,求|PQ|的最大值及相應的點Q的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源:天驕之路中學系列 讀想用 高二數(shù)學(上) 題型:044
如圖所示,點P在圓x2+(y-2)2=上移動,點Q在橢圓x2+4y2=4上移動,求|PQ|的最大值及相應的點Q的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源:上海市徐匯區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數(shù)學理科試題 題型:044
設P(a,b)(a·b≠0)、R(a,2)為坐標平面xoy上的點,直線OR(O為坐標原點)與拋物線y2=x交于點Q(異于O).
(1)若對任意ab≠0,點Q在拋物線y=mx2+1(m≠0)上,試問當m為何值時,點P在某一圓上,并求出該圓方程M;
(2)若點P(a,b)(ab≠0)在橢圓x2+4y2=1上,試問:點Q能否在某一雙曲線上,若能,求出該雙曲線方程,若不能,說明理由;
(3)對(1)中點P所在圓方程M,設A、B是圓M上兩點,且滿足|OA|·|OB|=1,試問:是否存在一個定圓S,使直線AB恒與圓S相切.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
設P(a,b)(b≠0)是平面直角坐標系xOy中的點,l是經過原點與點(1,b)的直線,記Q是直線l與拋物線x2=2py(p≠0)的異于原點的交點
⑴.已知a=1,b=2,p=2,求點Q的坐標。
⑵.已知點P(a,b)(ab≠0)在橢圓+y2=1上,p=,求證:點Q落在雙曲線4x2-4y2=1上。
⑶.已知動點P(a,b)滿足ab≠0,p=,若點Q始終落在一條關于x軸對稱的拋物線上,試問動點P的軌跡落在哪種二次曲線上,并說明理由。
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