Question

函數f（x）=|x²-1|+x²+kx．
（1）討論函數f（x）的奇偶性；
（2）若函數f（x）在（0，2）有兩個不同的零點，求實數k的取值范圍，并證明：

1

x1

+

1

x2

＜4．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）分k=0和k≠0利用定義判斷原函數的奇偶性；
（2）寫出分段函數，然后分兩個零點在（0，1]，（1，2）上各一個或都在（1，2）上求解k的范圍，然后把兩零點代入不同的函數得到

kx1+1=0 2x22+kx2-1=0

，
再由零點范圍證得答案．

解答： （1）解：當k=0時，f（x）=|x²-1|+x²，
f（-x）=|（-x）²-1|+（-x）²=f（x），
∴f（x）為偶函數．
當k≠0時，f（-1）=1-k，f（1）=1+k，f（-1）≠-f（1），f（-1）≠f（1），
∴f（x）為非奇非偶函數；
（2）解：f(x)=

kx+1，0＜x≤1 2x2+kx-1，1＜x＜2

，
①若兩個零點在（0，1]，（1，2）上各一個，
當x∈（0，1]時，由f（1）≤0，得k≤-1．
當x∈（1，2）時，由

f(1)＜0 f(2)＞0

，得-

7

2

＜k＜-1．
②兩零點都在（1，2）時，
方程2x²+kx-1=0的兩根滿足x₁x₂=-1與x₁，x₂＞1不符．
綜上，-

7

2

＜k＜-1．
證明：由上可知，x₁∈（0，1]，x₂∈（1，2），
則

kx1+1=0 2x22+kx2-1=0

，
∴

1

x1

=-k，

1

x2

=k+2x2，
故

1

x1

+

1

x2

═2x2，而x₂∈（1，2），2x₂∈（2，4），
∴

1

x1

+

1

x2

＜4．

點評：本題考查了函數奇偶性的判斷，考查了函數的零點，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．