Question

已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的不恒為零的函數(shù)，且對(duì)于任意a，b∈R，滿足f（2）=2，f（ab）=af（b）+bf（a），記，其中n∈N^*．
考察下列結(jié)論：①f（0）=f（1）；②f（x）是R上的偶函數(shù)；③數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；④數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列．
其中正確結(jié)論的序號(hào)有    ．

Answer 1

【答案】分析：令a=b=0，得f（0）=0，令a=b=1，得f（1）=0．所以f（0）=f（1）．由f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，得f（-1）=0，f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），所以f（x）是R上的奇函數(shù)．由f（2ⁿ）=n×2ⁿ，能導(dǎo)出==2^n-1，==n．
解答：解：令a=b=0，
則f（0）=0，
令a=b=1，
則f（1）=2f（1），所以f（1）=0．
∴f（0）=f（1）．故①正確．
∵f（1）=-f（-1）-f（-1）=0，
∴f（-1）=0，
∴f（-x）=-f（x）+xf（-1）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函數(shù)．故②不正確．
∵，
∴=，
以此類推
（共n個(gè)）=n，
∴f（2ⁿ）=n×2ⁿ．
∴==2^n-1，故③正確．
==n，故④正確．
故答案為：①③④．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列和函數(shù)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．