Question

已知直線l：x=my+1（m∈R）與橢圓C：

x2

9

+

y2

t

=1(t＞0)相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)B．，且當(dāng)m=0時(shí)，|EF|=

8

3

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），直線AE，AF與直線x=3分別交于M，N兩點(diǎn)．試判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)B？并請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）m=0時(shí)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立解得E，F(xiàn)坐標(biāo)，據(jù)|EF|=

8

3

得到關(guān)于t的方程，解出即可．
（2）由

x2 9 + y2 2 =1 x=my+1

消x得到關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可用m表示y₁，y₂，根據(jù)已知條件可求出M，N坐標(biāo)，判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過點(diǎn)B，只需判斷是否有

BM

⊥

BN

，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為是否有

BM

•

BN

=0，通過計(jì)算即可驗(yàn)證．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為x=1，設(shè)點(diǎn)E在x軸上方，
由

x2 9 + y2 t =1 x=1

，解得E（1，

2 2t

3

），F(xiàn)（1，-

2 2t

3

）．
所以|EF|=

4 2t

3

=

8

3

，解得t=2．
所以橢圓C的方程為

x2

9

+

y2

2

=1．
（2）由

x2 9 + y2 2 =1 x=my+1

，得（2m²+9）y²+4my-16=0，顯然m∈R．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則y₁+y₂=

-4m

2m2+9

，y₁y₂=

-16

2m2+9

．
x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
又直線AE的方程為y=

y1

x1+3

(x+3)，
由

y= y1 x1+3 (x+3) x=3

，解得M（3，

6y1

x1+3

），
同理得N（3，

6y2

x2+3

）．又B（1，0），
所以

BM

=（2，

6y1

x1+3

），

BN

=（2，

6y2

x2+3

），
又因?yàn)?span id="150h3tt" class="MathJye">

BM

•

BN

=（2，

6y1

x1+3

）•（2，

6y2

x2+3

）
=4+

36y1y2

(x1+3)(x2+3)

=4+

36y1y2

(my1+4)(my2+4)

=

4(my1+4)(my2+4)+36y1y2

m2y1y2+4m(y1+y2)+16

=

-16(4m2+36)-16×4m2+16×4(2m2+9)

-32m2+16(2m2+9)

=

-64m2-576-64m2+128m2+576

9

=0．
所以

BM

⊥

BN

，所以以MN為直徑的圓過點(diǎn)B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．