Question

設奇函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象在P（1，f（1））處的切線的斜率為-6．且x=2時，f（x）取得極值．
（1）求實數a、b、c、d的值；
（2）設函數f（x）的導函數為f'（x），函數g（x）的導函數，m∈（0，1），求函數g（x）的單調區(qū)間；
（3）在（2）的條件下，當x∈[m+1，m+2]時，|g'（x）|≤m恒成立，試確定m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用y=f（x）是奇函數，可得f（-x）=-f（x）恒成立，從而b=d=0，所以f（x）=ax³+cx．求導函數f'（x）=3ax²+c，利用P（1，f（1））處的切線的斜率為-6．且x=2時，f（x）取得極值，可得f′（1）=-6，f′（2）=0，從而可得實數a、b、c、d的值；
（2）先求得g′（x）=-x²+4mx-3m²，m∈（0，1），再畫出表格，從而確定函數g（x）的單調區(qū)間；
（3）由|g′（x）|≤m，得-m≤x²+4mx-3m²≤m，根據0＜m＜1，可得m+1＞2m，從而g′（x）=-x²+4mx-3m²在[m+1，m+2]上為減函數，故可求[g′（x）]_max；[g′（x）]_min．從而可得不等式，故可求m的取值范圍．
解答：解：（1）∵y=f（x）是奇函數，∴f（-x）=-f（x）恒成立，
∴-ax³+bx²-cx+d=ax³+bx²+cx+d
∴b=d=0．
從而f（x）=ax³+cx．
∴f′（x）=3ax²+c…（2分）
又函數f（x）=ax³+bx²+cx+d的圖象在P（1，f（1））處的切線的斜率為-6，且x=2時，f（x）取得極值
∴f′（1）=-6，f′（2）=0，
∴
∴
∴，b=0，c=-8，d=0．
（2）依題意，g'（x）=-x²+4mx-3m²，m∈（0，1）．
令g'（x）=-x²+4mx-3m²=0，得x=m或x=3m．
當x變化時，g'（x）、g（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，m）	（m，3m）	（3m，+∞）
g'（x）的符號	-	+	-
g（x）的單調性	遞減	遞增	遞減

由表可知：當x∈（-∞，m）時，函數g（x）為減函數；當x∈（3m，+∞）時，函數g（x）也為減函數；當x∈（m，3m），函數g（x）為增函數．
∴函數g（x）的單調遞增區(qū)間為（m，3m），單調遞減區(qū)間為（-∞，m），（3m，+∞）．
…（2分）
（3）由|g'（x）|≤m，得-m≤x²+4mx-3m²≤m．
∵0＜m＜1，∴m+1＞2m．
∵函數g'（x）=-x²+4mx-3m²的對稱軸為x=2m
∴g'（x）=-x²+4mx-3m²在[m+1，m+2]上為減函數．
∴[g'（x）]_max=g'（m+1）=2m-1；[g'（x）]_min=g'（m+2）=4m-4．…（2分）
于是，問題轉化為求不等式的解．
解此不等式組，得．
又0＜m＜1，
∴所求m的取值范圍是．…（2分）
點評：本題以函數的性質為載體，考查函數的解析式，考查利用導數求函數的單調性，求函數的最值，綜合性較強．