Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=-2n²+5n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）如果兩個(gè)互不相等的正整數(shù)n₁，n₂滿(mǎn)足

n1+n2

2

=q（q為正整數(shù)），試比較

Sn1+Sn2

2

與S_q的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用公式 an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n．
（2）欲比較

Sn1+Sn2

2

與S_q的大小，利用作差法，只須比較

Sn1+Sn2

2

-S_q與0的大小即可，作差后結(jié)合配方法即可得到證明．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=3，--------------1’
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=-2n²+5n-[-2（n-1）²+5（n-1）]=-4n+7---------------3’
當(dāng)n=1時(shí)滿(mǎn)足通項(xiàng)公式，∴a_n=-4n+7---------4’
（2）∵n1≠n2，

n1+n2

2

=q，
∴

Sn1+Sn2

2

-Sq=

1

2

(-2

n

2 1

+5n1-2

n

2 2

+5n2)-(-2q2+5q)----6’
=

1

2

[-2(

n

2 1

+

n

2 2

)+10q]+2q2-5q=-(

n

2 1

+

n

2 2

)+2(

n1+n2

2

)2=-

1

2

[2

n

2 1

+2

n

2 2

-(n1+n2)2]=

1

2

(n1-n2)2＜0-------10’
∴

Sn1+Sn2

2

＞Sq-----------12’

點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用、作差法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．