Question

設函數F（x）=e^x+sinx-ax．
（1）若x=0是F（x）的極值點，求a的值；
（2）若x≥0時，函數y=F（x）的圖象恒不在y=F（-x）的圖象下方，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用導數公式和導數四則運算計算函數F（x）的導函數F′（x），再利用函數極值的意義，令F′（0）=0即可解得a的值
（2）若x≥0時，函數y=F（x）的圖象恒不在y=F（-x）的圖象下方，即φ（x）=F（x）-F（-x）≥0在[0，+∞）上恒成立，考慮到φ（0）=0，故通過討論函數φ（x）的單調性可得a的范圍

解答：解：（1）函數F（x）=e^x+sinx-ax的導函數F′（x）=e^x+cosx-a
∵x=0是F（x）的極值點，∴F′（0）=1+1-a=0
解得a=2
又當a=2時，
x＜0時，F′（x）=e^x+cosx-2＜0，x＞0時F′（x）=e^x+cosx-2＞0
∴x=0是F（x）的極小值點
∴a=2
（2）令φ（x）=F（x）-F（-x）=e^x-e^-x+2sinx-2ax
則φ′（x）=e^x+e^-x+2cosx-2a
令S（x）=φ′′（x）=e^x-e^-x-2sinx
∵S′（x）=e^x+e^-x-2cosx≥0當x≥0時恒成立
∴函數S（x）在[0，+∞）上單調遞增
∴S（x）≥S（0）=0當x≥0時恒成立
∴函數φ′（x）在[0，+∞）上單調遞增，
∴φ′（x）≥φ′（0）=4-2a當x≥0時恒成立
當a≤2時，φ′（x）≥0，函數φ（x）在[0，+∞）上單調遞增，即φ（x）≥φ（0）=0
故a≤2時，F（x）≥F（-x）恒成立
當a＞2時，φ′（0）＜0，又∵φ′（x）在[0，+∞）上單調遞增
∴總存在x₀∈（0，+∞），使得在區(qū)間[0，x₀）上φ′（x）＜0，導致φ（x）在[0，x₀）上遞減，而φ（0）=0
∴當x∈（0，x₀）時，φ（x）＜0，這與題意不符，∴a＞2不合題意
綜上，a的取值范圍是（-∞，2]

點評：本題綜合考查了導數運算，導數與函數極值間的關系，利用導數研究函數的單調性進而解決不等式恒成立問題，分類討論的思想方法