Question

19．有一塊三角形邊角地，如圖中△ABC，其中AB=8（百米），AC=6（百米），∠A=60°，某市為迎接2500年城慶，欲利用這塊地修一個三角形形狀的草坪（圖中△AEF）供市民休閑，其中點E在邊AB上，點F在邊AC上，規(guī)劃部門要求△AEF的面積占△ABC面積的一半，記△AEF的周長為l（百米）．
（1）如果要對草坪進行灌溉，需沿△AEF的三邊安裝水管，求水管總長度l的最小值；
（2）如果沿△AEF的三邊修建休閑長廊，求長廊總長度l的最大值，并確定此時E、F的位置．

Answer 1

分析 （1）設AE=a，AF=b，利用△AEF的面積占△ABC面積的一半，求出ab=24，表示出水管總長度l，求導數(shù)，即可求水管總長度l的最小值；
（2）根據(jù)（1），1≥t≥4$\sqrt{6}$，即可求長廊總長度l的最大值，并確定此時E、F的位置．

解答 解：（1）由題意，設AE=a，AF=b，則$\frac{1}{2}absin60°$=$\frac{1}{2}•\frac{1}{2}•8•6•sin60°$，
∴ab=24，
EF²=a²+b²-2abcos60°=a²+b²-24=（a+b）²-72，
∴l(xiāng)=a+b+$\sqrt{（a+b）^{2}-72}$
b=$\frac{24}{a}$∈（0，6]，可得4≤a≤8
設t=a+b=a+$\frac{24}{a}$，∴11≥t≥4$\sqrt{6}$，
l=t+$\sqrt{{t}^{2}-72}$，
∴l(xiāng)′=1+$\frac{2t}{2\sqrt{{t}^{2}-72}}$＞0，
∴t=4$\sqrt{6}$，l_min=6$\sqrt{6}$（百米）．
（2）由（1），1≥t≥4$\sqrt{6}$，∴t=11，長廊總長度l的最大值為18（百米）．
此時a=8，b=3，即E在B點、F為AC的中點．

點評 本題考查利用數(shù)學知識解決實際問題，考查導數(shù)知識的運用，確定函數(shù)模型是關鍵．