【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若的值域為,求的值;
(Ⅱ)巳,是否存在這祥的實數(shù),使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個零點.若存在,求出的取值范圍;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)存在,
【解析】
(1)的值域為,則函數(shù)必須是開口向上、與軸有唯一交點的二次函數(shù).可以求出的值.
(2)已知某函數(shù)零點個數(shù),求參數(shù)問題,函數(shù)零點問題可以轉(zhuǎn)化為方程根或者通過轉(zhuǎn)化變成兩圖象交點個數(shù)問題.本題中令 ,則它的圖象非常熟悉,而在∈的圖象則需要考慮是否是二次函數(shù),當確定是二次函數(shù)時,考慮函數(shù)的開口方向,對稱軸與區(qū)間的位置關系(為了更好的研究函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,便于考慮它的性質(zhì)).
(Ⅰ)函數(shù)的值域為,則,解得.
(Ⅱ)由,
即
令,,∈,原命題等價于兩個函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點.
(1)當時,在上遞減,在上遞增,
而g(1)=1>0=h(1),g(2)=-1<1=h(2),
∴函數(shù)與的圖象在內(nèi)有唯一交點.
(2)當時,圖象開口向下,對稱軸為,在上遞減,
在上遞增,與的圖象在內(nèi)有唯一交點,
當且僅當,即即.
∴
(3)當時,圖象開口向上,對稱軸為,在上遞減,在上遞增,與的圖象在內(nèi)有唯一交點,
,即即,
∴.
綜上,存在實數(shù),使函數(shù)于在區(qū)間內(nèi)有且只有一個點.
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【題目】已知正方形的對角線與相交于點,將沿對角線折起,使得平面平面(如圖),則下列命題中正確的為
A.直線直線,且直線直線
B.直線平面,且直線平面
C.平面平面,且平面平面
D.平面平面,且平面平面
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【題目】已知函數(shù)部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式及的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)把函數(shù)圖象上點的橫坐標擴大到原來的2倍(縱坐標不變),再向左平移個單位,得到函數(shù)的圖象,求關于x的方程在上所有的實數(shù)根之和.
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【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是矩形,平面,AB 1,AP AD 2.
(1)求直線與平面所成角的正弦值;
(2)若點M,N分別在AB,PC上,且平面,試確定點M,N的位置.
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【題目】在平面直角坐標系中,經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和.
(1)求的取值范圍;
(2)設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為,是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
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【題目】符號表示不大于x的最大整數(shù),例如:.
(1)解下列兩個方程;
(2)設方程: 的解集為A,集合,,求實數(shù)k的取值范圍;
(3)求方程的實數(shù)解.
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【題目】已知函數(shù).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性,并說明理由;
(2)若對于任意的恒成立,求滿足條件的實數(shù)m的最小值M .
(3)對于(2)中的M,正數(shù)a,b滿足,證明: .
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【題目】如圖,四棱錐的底面是邊長為1的正方形,垂直于底面,.
(1)求平面與平面所成二面角的大小;
(2)設棱的中點為,求異面直線與所成角的大小.
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