Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）．
（I）若對定義域內(nèi)的任意x，都有f（x）≥f（1）成立，求實數(shù)b的值；
（II）若函數(shù)f（x）的定義域上是單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)b的取值范圍；
（III）若b=-1，證明對任意的正整數(shù)n，不等式成立．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由x+1＞0，得f（x）的定義域為（-1，+∞）．因為對x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），所以f（1）是函數(shù)f（x）的最小值，故有f′（1）=0由此能求出b．
（Ⅱ）由，函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．由此能求出實數(shù)b的取值范圍．
（Ⅲ）當(dāng)b=1時，函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1）．令h（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），則．由此入手能夠證明．
解答：解：（Ⅰ）由x+1＞0，得x＞-1．
∴f（x）的定義域為（-1，+∞）．…（1分）
因為對x∈（-1，+∞），都有f（x）≥f（1），
∴f（1）是函數(shù)f（x）的最小值，故有f′（1）=0．…（2分）
，
∴2+=0，解得b=-4．      …（3分）
經(jīng)檢驗，b=-4時，f（x）在（-1，1）上單調(diào)減，在（1，+∞）上單調(diào)增．
f（1）為最小值．故得證． …（4分）
（Ⅱ）∵=，
又函數(shù)f（x）在定義域上是單調(diào)函數(shù)，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（_1，+∞）上恒成立．…（6分）
若f′（x）≥0，則2x+≥0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≥-2x²-2x=-2（x+）²+恒成立，由此得b；…（8分）
若f′（x）≤0，則2x+≤0在（-1，+∞）上恒成立，
即b≤-2x²-2x=-2（x+）²+恒成立．
因在（-1，+∞）上沒有最小值，
∴不存在實數(shù)b使f′（x）≤0恒成立．
綜上所述，實數(shù)b的取值范圍是[）．…（10分）
（Ⅲ）當(dāng)b=1時，函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1）．
令h（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），
則=-．
當(dāng)x∈（0，+∞）時，h′（x）＜0，
所以函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
又h（0）=0，∴當(dāng)x∈[0，+∞）時，恒有h（x）＜h（0）=0，
即x²-ln（x+1）＜x³恒成立．
故當(dāng)x∈（0，+∞）時，有f（x）＜x³．…（12分）
∵k∈N^*，∴．
取，則有．
∴．
所以結(jié)論成立． …（14分）
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，綜合性質(zhì)強，難度大，計算繁瑣，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．