Question

六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．已知在平行四邊形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²），則在平行六面體
ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AC₁²+BD₁²+CA₁²+DB₁²等于

1. A.
   2（AB²+AD²+AA₁²）
2. B.
   3（AB²+AD²+AA₁²）
3. C.
   4（AB²+AD²+AA₁²）
4. D.
   4（AB²+AD²）

Answer 1

C
分析：根據(jù)平行六面體的性質(zhì)，可以得到它的各個(gè)面以及它的對(duì)角面均為平行四邊形，多次使用已知條件中的定理，再將所得等式相加，可以計(jì)算出正確結(jié)論．
解答：如圖，平行六面體的各個(gè)面以及對(duì)角面都是平行四邊形，

因此，在平行四邊形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²）…①；
在平行四邊形ACA₁C₁中，A₁C²+AC₁²=2（AC²+AA₁²）…②；
在平行四邊形BDB₁D₁中，B₁D²+BD₁²=2（BD²+BB₁²）…③；
②、③相加，得A₁C²+AC₁²+B₁D²+BD₁²=2（AC²+AA₁²）+2（BD²+BB₁²）…④
將①代入④，再結(jié)合AA₁=BB₁得，AC₁²+B₁D²+A₁C²+BD₁²=4（AB²+AD²+AA₁²）
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)平行六面體的認(rèn)識(shí)，對(duì)平行四邊形的性質(zhì)的理解和掌握，考查學(xué)生方程組的處理能力，屬于中檔題．