Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線與E相交于A、B兩點(diǎn)，且|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列
（Ⅰ）求△ABF₂的周長；
（Ⅱ）求|AB|的長；
（Ⅲ）若直線的斜率為1，求b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，可以推出a=1，推出|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4a，從而求出△ABF₂的周長；
（Ⅱ）因為|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列，可得|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，又|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4，求出|AB|的長；
（Ⅲ）已知L的方程式為y=x+c，其中c=

1-b2

，聯(lián)立直線和橢圓的方程，設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用韋達(dá)定理，求出b的值．

解答：解：（Ⅰ）因為橢圓E：x²+

y2

b2

=1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線與E相交于A、B兩點(diǎn)，
由橢圓定義知|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4a
已知a=1
∴△ABF₂的周長為4…3分
（Ⅱ） 由已知|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等差數(shù)列
∴|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，又|AF₂|+|A B|+|BF₂|=4
故3|AB|=4，解得|AB|=

4

3

….6分
（Ⅲ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程，

y=x+c x2+ y2 b2 =1

，化簡得，（1+b²）x²+2cx+1-2b²=0，
則x₁+x₂=

-2c

1+b2

，x₁x₂=

1-2b2

1+b2

，
因為直線AB的斜率為1，所以|AB|=

2

|x₂-x₁|，
即

4

3

=

2

|x₂-x₁|，
則

8

9

=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

4(1-b2)

(1+b2)2

=

8b4

1+b2

，
解得b=

2

2

；…12分

點(diǎn)評：此題主要考查橢圓的定義及其應(yīng)用，把等差數(shù)列作為載體進(jìn)行出題，考查圓錐曲線，是一種創(chuàng)新，此題是一道綜合題；