Question

19．已知函數(shù)$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的公式，解關(guān)于x的不等式，即可得到函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；
（2）結(jié)合正弦函數(shù)在$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最大值與最小值，即可得到此時(shí)函數(shù)的值域．

解答 解：（1）令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$2x+\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z），
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ（k∈Z），
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]（k∈Z）；
（2）∵$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{2}$時(shí)，可得$\frac{π}{3}$≤2x≤π，
∴$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴當(dāng)$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$時(shí)，函數(shù)$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}$的最小值為5sin$\frac{7π}{6}$+$\frac{7}{2}$=1；
當(dāng)$2x+\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)$f（x）=5sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{7}{2}$的最大值為5+$\frac{7}{2}$=$\frac{17}{2}$；
函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇1，$\frac{17}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間并求閉區(qū)間上的值域．著重考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的值域求法等知識(shí)，屬于中檔題．