已知函數(shù)f(x)=log2
1+x
1-x
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）求證f(x1)+f(x2)=f(
x1+x2
1+x1x2
)
（3）若f(
a+b
1+ab
)=1，f(-b)=
1
2
，求f（a）的值．
分析：（1）先看函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，再看f（x）與f（-x）的關(guān)系．
（2）應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算f（x1）+f（x2）的值．
（3）由（2）的結(jié)論知f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)=1，先求f（b），進(jìn)而求f（a）的值．
解答：解：（1）由
1+x
1-x
＞0得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，
又f(x)+f(-x)=log2
1+x
1-x
+log2
1-x
1+x
=0
所以函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
（2）證明：f(x1)+f(x2)=log2
1+x1
1-x1
+log2
1+x2
1-x2
=log2(
1+x1
1-x1
•
1+x2
1-x2
)=log2
1+x1+x2+x1x2
1-x1-x2+x1x2
f(
x1+x2
1+x1x2
)=log2
1+
x1+x2
1+x1x2
1-
x1+x2
x1x2
=log2
1+x1+x2+x1x2
1-x1-x2+x1x2
；
∴f(x1)+f(x2)=f(
x1+x2
1+x1x2
)；
（3）解：由（2）的結(jié)論知f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)=1
又由（1）知f(b)=-f(-b)=-
1
2
；
∴f(a)=1-f(b)=1+
1
2
=
3
2
．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，注意函數(shù)特征f(a)+f(b)=f(
a+b
1+ab
)=1．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實(shí)數(shù)a，b的值：
（2）當(dāng)a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式和切線l的方程；
（2）當(dāng)x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當(dāng)k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點(diǎn)x1，x2，若過兩點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點(diǎn)在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實(shí)數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當(dāng)1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點(diǎn)的個數(shù)．

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