Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=a_n+1+n-2，（n∈N^*），且a₁=2．
（1）證明：數(shù)列{a_n-1}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

3n

Sn-n+1

（n∈N^*）的前n項和為T_n，證明T_n＜6．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知得S_n-S_n-1=a_n=a_n+1-a_n+1，從而a_n+1-1=2（a_n-1），由此能證明{a_n-1}是等比數(shù)列，從而求出an=2n-1+1．
（2）由已知得Sn-n+1=2n，從而bn=

3n

2n

，由此利用錯位相減法能證明T_n＜6．

解答： （1）證明：∵S_n=a_n+1+n-2，（n∈N^*），且a₁=2，
∴S_n-1=a_n+n-3，（n≥2），
兩式相減，得a_n=a_n+1-a_n+1，
即a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
又a₂=S₁-1+2=3，a₁-1=1，a₂-1=2，
∴{a_n-1}是等比數(shù)列，其首項為1，公比為2，
∴an-1=2n-1，∴an=2n-1+1．
（2）證明：∵S_n=a_n+1+n-2，（n∈N^*），且a₁=2．
∴Sn-n+2=an+1=2n+1，
∴Sn-n+1=2n，
∴bn=

3n

2n

，
∴T_n=

3

2

+

3×2

22

+

3×3

23

+…+

3n

2n

，①
2T_n=3+

3×2

2

+

3×3

22

+…+

3n

2n-1

，②
②-①，得：T_n=3+

3

2

+

3

22

+…+

3

2n-1

-

3n

2n

=6-

3n+6

2n

，
∵

3n+6

2n

＞0，∴T_n＜6．

點評：本題考查等比數(shù)列的證明，考查不等式的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要注意構(gòu)造法和錯位相減法的合理運用．