Question

已知拋物線y²=4x的準(zhǔn)線與雙曲線 

x2

a2

-y2=1 (a＞0)交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，若△FAB為直角三角形，則a的值為（　�。�

• A、

  5

• B、

  3

• C、

  3

  3

• D、

  5

  5

Answer 1

分析：求出拋物線的準(zhǔn)線為x=-1，焦點(diǎn)為F（1，0）．根據(jù)對稱性可得△FAB是等腰直角三角形，從而算出A、B的坐標(biāo)，將其代入雙曲線方程，解關(guān)于a的等式即可得到實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：∵拋物線的方程為y²=4x，
∴拋物線的準(zhǔn)線為x=-1，焦點(diǎn)為F（1，0）．
又∵直線x=-1交雙曲線 

x2

a2

-y2=1于A、B兩點(diǎn)，△FAB為直角三角形．
∴△FAB是等腰直角三角形，AB邊上的高FF'=2
由此可得A（-1，2）、B（-1，-2），如圖所示
將點(diǎn)A或點(diǎn)B的坐標(biāo)代入雙曲線方程，得

1

a2

-4=1，解之得a=

5

5

（舍負(fù)）
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線與雙曲線滿足的條件，在已知拋物線的方程情況下求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．