Question

（1）現(xiàn)已畫(huà)出偶函數(shù)f（x）在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示，請(qǐng)補(bǔ)全函數(shù)f（x）的圖象，并根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)f（x）（x∈R）的遞增區(qū)間；
（2）寫(xiě)出函數(shù)f（x）（x∈R）的解析式；
（3）若方程f（x）-a=0有兩個(gè)不等是實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可畫(huà)出；
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，由圖象可知：二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0，2，且對(duì)稱(chēng)軸為x=1，最小值為y=-1．可得解析式為：f（x）=a（x-1）²-1，把x=0代入可得0=a-1，解得a即可．
利用偶函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，由于f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x．可得f（x）=f（-x）．
（3）由（2）函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，+∞），再利用圖象可得：當(dāng)a=-1和a＞0時(shí)，方程f（x）-a=0有兩個(gè)不等是實(shí)數(shù)根，可得a的取值范圍．

解答：解：（1）利用偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得：如圖所示，
（2）當(dāng)x≥0時(shí)，由圖象可知：二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)0，2，且對(duì)稱(chēng)軸為
x=1，最小值為y=-1．可得解析式為：f（x）=a（x-1）²-1，
把x=0代入可得0=a-1，解得a=1．
∴f（x）=（x-1）²-1=x²-2x．
利用偶函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x．
∴f（x）=f（-x）=x²+2x．
綜上可得函數(shù)f（x）=

x2-2x，x≥0 x2+2x，x＜0

．
（3）由（2）函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-1，+∞），再利用圖象可得：當(dāng)a=-1和a＞0時(shí)，方程f（x）-a=0有兩個(gè)不等是實(shí)數(shù)根，故a的取值范圍是{a|a=-1或a＞0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性、二次函數(shù)的解析式、分段函數(shù)的解析式、圖象的交點(diǎn)與方程的零點(diǎn)之間的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于難題．