Question

如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點M（2，0），AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，點T（-1，1）在AD邊所在直線上。

（1）求AD邊所在直線的方程；
（2）求矩形ABCD外接圓的方程；
（3）若動圓P過點N（-2，0），且與矩形ABCD的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程。

Answer 1

解：（1）因為AB邊所在直線的方程為，且AD與AB垂直，
所以直線AD的斜率為-3
又因為點在直線AD上，
所以AD邊所在直線的方程為
即。
（2）由解得點A的坐標(biāo)為，
因為矩形兩條對角線的交點為
所以M為矩形外接圓的圓心
又
從而矩形外接圓的方程為。
（3）因為動圓P過點N，
所以是該圓的半徑，
又因為動圓P與圓M外切，
所以，
即
故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為的雙曲線的左支
因為實半軸長，半焦距
所以虛半軸長
從而動圓P的圓心的軌跡方程為。