Question

如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE， (1)在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？證明你的結論；
(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值．

Answer 1

解：(1)線段BC的中點就是滿足條件的點P；
證明如下：取AB的中點F，連接DP、PF、EF，
則FP∥AC，，
取AC的中點M，連接EM、EC，
∵AE=AC且∠EAC=60°，
∴△EAC是正三角形，∴EM⊥AC，
∴四邊形EMCD是矩形，
∴，
又ED∥AC，
∴ED∥FP且ED=FP，∴四邊形EFPD是平行四邊形，
∴DP∥EF，
又EF平面EAB，DP平面EAB，
∴DP∥平面EAB。
(2)∵∠BAC=90°，平面EACD⊥平面ABC，
∴以A為原點，直線AB為x軸，直線AC為y軸，建立空間直角坐標系A-xyz，則z軸在平面EACD內，
設AB=AC=AE=2a，
由已知得B(2a，0，0)，，
∴，
設平面EBD的法向量為n₁=(x，y，z)，則，
∴，取z=2，得平面EBD的一個法向量，
又∵平面ABC的一個法向量n₂=(0，0，1)，
∴。