Question

已知二次函數f（x）=ax²+x．對于?x∈（0，1]，|f（x）|≤1成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：解法一：由|f（x）|≤1得-1≤f（x）≤1，從中分離出系數a，將其轉化為恒成立問題可解．
解法二：本題還可以從a的正、負入手，考慮a＞0與a＜0兩種情況，綜合運用分類討論思想與數形結合思想求解．
解答：解法一：|f（x）|≤1?-1≤f（x）≤1?-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]=1 ①
①式等價于--≤a≤-在x∈（0，1]上恒成立．
設，則t∈[1，+∞），則有-t²-t≤a≤t²-t，所以只須，
⇒-2≤a≤0，又a≠0，
∴-2≤a＜0．
綜上，所求實數a的取值范圍是[-2，0）．
解法二：由|f（x）|≤1得-1≤ax²+x≤1，x∈（0，1]，
（1）當a＞0時，函數f（x）=ax²+x的圖象開口方向向上，對稱軸為，
且經過原點（0，0），只需f（1）=a+1≤1，即a≤0，矛盾!
（2）當a＜0時，函數f（x）=ax²+x的圖象開口方向向下，對稱軸為，
且經過原點（0，0），f（1）=a+1＜1，
（i）當，即a＜-1時，需滿足
及f（x）_min=f（1）=a+1≥-1，即；
（ii）當，即時，需滿足，
即，
∴；
（iii）當，即，需滿足f（x）_max=f（1）=a+1≤1，這顯然成立；
綜上，實數a的取值范圍是[-2，0）．
點評：解決本題的靈魂在于“轉化”，先將轉化為恒成立問題，再以將問題轉化為二次函數問題，最終得以解決．很多問題在實施“化難為易”、“化生為熟”中得以解決．
解法二分類討論目的是，分解問題難度，化整為零，各個擊破．本解法比前一解法雖然復雜不少，但是其中所蘊涵的分類討論思想與數形結合思想卻是處理很多疑難問題的“利劍”．