Question

已知函數(shù)，記，．且

(1)求數(shù)列{ }{}的前n項的和；

(2)解關(guān)于k的不等式2<1(kN)；

(3)證明：．

Answer 1

解：(1)∵，

……

∴，，…，！，

而，

，

∴

∴

   =

   =2－

(2)當(dāng)k=0時，2^0－1₀=<1成立，故k=0是不等式2<1的一個解；

    當(dāng)k=1時，2=1成立，故k=1不是不等式2<1的解；

當(dāng)k=2時，2_2―1=1成立，故k=2也不是不等式2<1的解；

當(dāng)k≥3，k∈N時，∵k!=k(k一1)…3?2>2^k一1

∴2^k-1．=2^k-1<1，故≥3，∈N都是不等式2^k-1<1的解．

綜上所述，所求的解集為{|≠1且≠2，∈N}．

       (3)∵

           =

且由(2)知，