Question

（本小題滿分12分）
已知函數(shù)
（1）若是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；
（2）若在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)、，證明：

Answer 1

（1）[，＋∞)（2）

試題分析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240048297591074.png" style="vertical-align:middle;" />
所以．             
法一：若在(0，＋∞)單調(diào)遞增，則在(0，＋∞)上恒成立，
，
由于開(kāi)口向上，所以上式不恒成立，矛盾。
若在(0，＋∞)單調(diào)遞減，則在(0，＋∞)上恒成立，

由于開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為，
故只須解得。
綜上，的取值范圍是[，＋∞)．
法二：令．當(dāng)時(shí)，，在 (0，＋∞)單調(diào)遞減．
當(dāng)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的正根，
不妨設(shè)，
則當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，這時(shí)不是單調(diào)函數(shù)．
綜上，的取值范圍是[，＋∞)．                            
（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)∈(0，)時(shí)，有極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)，
且＝，＝．



令，
則當(dāng)時(shí)，＝－＝＜0，在(0，)單調(diào)遞減，
所以即．         
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值的有力工具，研究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)要注意函數(shù)的定義域.