Question

對(duì)于函數(shù)①f(x)=4x+

1

x

-5，②f(x)=|log2x|-(

1

2

)x，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判斷如下兩個(gè)命題的真假：命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)；命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁x₂＜1．能使命題甲、乙均為真的函數(shù)的序號(hào)是

 

．

Answer 1

分析：分別分析①②③中三個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，求出它們的單調(diào)區(qū)間，以及他們?cè)趨^(qū)間（0，+∞）上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，和題目中的兩個(gè)條件進(jìn)行比照，即可得到答案．

解答：解：當(dāng)函數(shù)f(x)=4x+

1

x

-5，在區(qū)間（0，

1

2

）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（

1

2

，+∞）上單調(diào)遞增，故命題甲：f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)為真命題；
當(dāng)x=

1

2

時(shí)函數(shù)取極小值-1＜0，故命題乙：f（x）在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁x₂=

1

4

＜1．故①滿足條件；
當(dāng)在區(qū)間（1，2）上函數(shù)的解析式可化為f(x)=log2x-(

1

2

)x，根據(jù)“增-減=增”，可得f（x）在區(qū)間（1，2）上是增函數(shù)；
由函數(shù)y=|log₂x|與函數(shù)y=

1

2

x的圖象可得在區(qū)間（0，+∞）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，且x₁x₂＜1，故②滿足條件；
由余弦函數(shù)的周期性，查得函數(shù)f（x）=cos（x+2）-cosx，在區(qū)間（0，+∞）上有無限多個(gè)零點(diǎn)，故③不滿足條件
故答案為：①②

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，函數(shù)的零點(diǎn)，其中熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，掌握函數(shù)性質(zhì)的研究方法是解答本題的關(guān)鍵．