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函數f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立．
（Ⅰ）求和f(
1
n
)+f(
n-1
n
)（n∈N*）的值；
（Ⅱ）數列{an}滿足條件；an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)，試證：數列{an}是等差數列．
分析：（Ⅰ）由f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立可令x=
1
n
，則可求f(
1
n
)+f(
n-1
n
)
（Ⅱ）由an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)可得an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)，利用倒序相加可求an，進而可證數列{an} 是等差數列．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x）對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=
1
2
成立
∴f(
1
2
)=
1
4
，令x=
1
n
，則有f(
1
n
)+f(1-
1
n
)=
1
2
，即f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=
1
2
（Ⅱ）∵an=f(0)+f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(1)
∴an=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f(
1
n
)+f(0)
兩式相加可得，2an=[f(0)+f(1)]+[f(
1
n
)+f(
n-1
n
)]+[f(
2
n
)+f(
n-2
n
)]+… +[f(
n-1
n
)+f(
1
n
)] +[f(1)+f(0)]=
n+1
2
．
所以數列{an} 是等差數列．
點評：本題主要考查了利用賦值求抽象函數的函數值及利用倒序相加求解數列的和的方法的應用，要注意該方法是推倒等差數列的求和公式的方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）試問：在-2≤x≤2時，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關于x的不等式
1
2
f(bx)-f(x)＞
1
2
f(b2x)-f(b)．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x+
a
x
+a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判斷f（x）單調性并證明；
（2）若m滿足f（3m）＞f（5-2m），試確定m的取值范圍．
（3）若函數g（x）=xf（x）對任意x∈[2，5]時，g（x）+2x+
3
2
＞0恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知二次函數f（x）=ax2+bx+c
（1）若f（-1）=0，試判斷函數f（x）零點個數；
（2）若對任意的x1，x2∈R，且x1＜x2，f（x1）≠f（x2）（a＞0），試證明：
1
2
[f（x1）+f（x2）]＞f（
x1+x2
2
）成立．
（3）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同時滿足以下條件：
①對任意x∈R，f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥0；
②對任意的x∈R，都有0≤f（x）-x≤
1
2
(x-1)2？若存在，求出a，b，c的值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

若定義在（0，+∞）上的函數f（x）對任意x，y∈（0，+∞），都有f（x•y）=f（x）+f（y），且當x＞1時f（x）＜0．
（Ⅰ）求f（1）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）的單調性；
（Ⅲ）若f（2）=-1，解不等式f（x-2）+f（x）＞-3．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）對任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），當x≠0時，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）試問：在-n≤x≤n時（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果沒有，說明理由．
（3）解關于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．

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