Question

已知函數(shù)．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）當(dāng)方程f（x）=2恰有兩個實數(shù)根時，求a的值；
（3）若對于一切x∈（0，+∞），不等式f（x）≥1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由a=0得
當(dāng)x＞0時，恒成立
∴x＞0
當(dāng)x＜0時，得x≥2或x≤-2又x＜0
∴x≤-2
所以不等式f（x）≥0的解集為（-∞，-2]∪（0，+∞）

（2）由f（x）=2得，令
由函數(shù)圖象知兩函數(shù)圖象在y軸右邊只有一個交點時滿足題意
由圖知，此時a=2
由圖知a=2時方程f（x）=2恰有兩個實數(shù)根
又兩曲線的交點可能都在雙曲線的左支上，此時必有a＜0
又，由函數(shù)的圖象知，x＜a時，兩曲線必有一個交點，故只需要x＞a時有一個交點即可滿足題意
x＞a時，有x-a=在x＜0時有根，即a+2=x+在x＜0時成立，由基本不等式知，x＜0時x+≤-4，等號當(dāng)且僅當(dāng)x=-2時取到，此時有a≤-6，滿足x＞a，故可得a≤-6
故當(dāng)方程f（x）=2恰有兩個實數(shù)根時，a=2或a≤-6
（3）
當(dāng)a≤0時，，，可得a≤3，
所以a≤0符合題意，
當(dāng)a＞0時
①當(dāng)x≥a時，，即，
令0＜a≤2時，a≤g（2）=3，
所以0＜a≤2
a＞2時，，所以a≤3，即2＜a≤3
所以0＜a≤3
②當(dāng)0＜x＜a時，，即
所以，a≤4，
綜上，a的取值范圍是（-∞，4]
分析：（1）a=0時，即解不等式≥0，對絕對值內(nèi)進(jìn)行分類討論；
（2）令，由函數(shù)圖象知兩函數(shù)圖象的交點情況：當(dāng)a≥2時，有兩個交點；
（3）恒成立問題的解決方法，先對絕對值內(nèi)進(jìn)行討論，后分離出參數(shù)a，轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的值域問題解決．
點評：對于含有絕對值的題目，本身就是分類的，問題的提出已包含了分類的原因．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法，在高考試題中占有重要的位置．