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已知二次函數f（x）=ax2+bx+c，不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（Ⅰ）若方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）的最大值為正數，求實數a的取值范圍．
【答案】分析：（Ⅰ根據不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）得出x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的兩根列出關于a，b的等式再根據方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根得到：△=0求得a值，從而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a配方后即可求得其最大值為再由題意得出關于a的不等關系，即可求得a的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）
∴x=1和x=3是方程ax2+（b+2）x+c=0（a＜0）的兩根
∴
∴b=-4a-2，c=3a
又方程f（x）+6a=0有兩個相等的實根
∴△=b2-4a（c+6a）=0
∴4（2a+1）2-4a×9a=0
∴（5a+1）（1-a）=0
∴或a=1（舍）
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=ax2-2（2a+1）x+3a==
∵a＜0，
∴f（x）的最大值為
∵f（x）的最大值為正數
∴
∴解得或
∴所求實a的取值范圍是
點評：本小題主要考查函數的最值及其幾何意義、函數與方程的綜合運用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，與轉化思想．屬于基礎題．
練習冊系列答案
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已知二次函數f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數的圖象經過原點，且滿足f（2）=0，求實數m的值．
（Ⅱ）若函數在區(qū)間[2，+∞）上為增函數，求m的取值范圍．

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已知二次函數f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點（0，1），且與x軸有唯一的交點（-1，0）．
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（Ⅱ）設函數F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數t（t≥0），當x∈[t，10]時，f（x）的值域為區(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結論給出證明．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數f（x）=x2+ax+m+1，關于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數．設g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點，并求出極值點；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知二次函數f（x）的圖象與x軸的兩交點為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數f（x）的圖象的頂點是（-1，2），且經過原點，求f（x）的解析式．

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