Question

已知兩定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）和一動點P，給出下列結論：
①若|PF₁|+|PF₂|=2，則點P的軌跡是橢圓；
②若|PF₁|-|PF₂|=1，則點P的軌跡是雙曲線；
③若

|PF1|

|PF2|

=λ(λ＞0，λ≠1)，則點P的軌跡是圓；
④若|PF1|•|PF2|=a2(a≠0)，則點P的軌跡關于原點對稱；
其中正確的是

③④

（填序號）

Answer 1

分析：利用橢圓與雙曲線的定義可對①②的正誤作出判斷；利用兩點間的距離公式對③與④化簡整理，即可分析其正誤．

解答：解：∵兩定點F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
①：∵動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=2，
∴則點P的軌跡是線段F₁F₂，故①錯誤；
②：∵|PF₁|-|PF₂|=1＜2=|F₁F₂|，
∴點P的軌跡是F₁、F₂為焦點的雙曲線的右支，不是兩支，故②錯誤；
③：設P（x，y），則

(x+1)2+y2

(x-1)2+y2

=λ（λ＞0且λ≠1），
∴整理得：（1-λ²）x²+（1-λ²）y²+（2+2y²）x+1-λ²=0，
∵λ＞0且λ≠1，
∴x²+y²+

2+2λ2

1-λ2

x+1=0，即(x+

1+λ2

1-λ2

)2+y²=

4λ

(1-λ2)2

2，
∴點P的軌跡是圓，故③正確；
④：∵|PF₁|•|PF₂|=

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²，
設P（x，y）為曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上任意一點，
則P（x，y）關于原點（0，0）的對稱點為P′（-x，-y），
∵

(-x+1)2+(-y)2

•

(-x-1)2+(-y)2

=

(x-1)2+y2

•

(x+1)2+y2

=a²（a≠0），
即P′（-x，-y）也在曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）上，
∴點P的軌跡曲線

(x+1)2+y2

•

(x-1)2+y2

=a²（a≠0）關于原點對稱，即④正確；
綜上所述，正確的是③④．
故答案為：③④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查圓錐曲線的概念及應用，考查轉化思想與運算能力，屬于中檔題．