Question

若a>1，設(shè)函數(shù)f(x)＝a^x＋x－4的零點(diǎn)為m，g(x)＝log_ax＋x－4的零點(diǎn)為n，求＋的取值范圍.

Answer 1

 [分析]　欲求＋的取值范圍，很容易聯(lián)想到基本不等式，于是需探討m、n之間的關(guān)系，觀察f(x)與g(x)的表達(dá)式，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義，可以把題目中兩個函數(shù)的零點(diǎn)和轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)y＝a^x和對數(shù)函數(shù)y＝log_ax與直線y＝－x＋4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)

y＝a^x和對數(shù)函數(shù)y＝log_ax互為反函數(shù)，故其圖象關(guān)于直線y＝x對稱，又因直線y＝－x＋4垂直于直線y＝x，指數(shù)函數(shù)y＝a^x和對數(shù)函數(shù)y＝log_ax與直線y＝－x＋4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是直線y＝x與y＝－x＋4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，這樣即可建立起m，n的數(shù)量關(guān)系式，進(jìn)而利用基本不等式求解即可．

解析 　令a^x＋x－4＝0得a^x＝－x＋4，

令log_ax＋x－4＝0得log_ax＝－x＋4，

在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝a^x，y＝log_ax，y＝－x＋4的圖象，結(jié)合圖形可知，n＋m為直線y＝x與y＝－x＋4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的2倍，由，解得x＝2，所以n＋m＝4，

因?yàn)?n＋m)＝1＋1＋＋≥4，又n≠m，故(n＋m)>4，則＋>1.