某飛船返回倉順利返回地球后,為了及時(shí)救出航天員,地面指揮中心在返回倉預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域內(nèi)安排了三個(gè)救援中心(如圖1分別記為A,B,C),B地在A地正東方向上,兩地相距6 km; C地在B地北偏東30°方向上,兩地相距4 km,假設(shè)P為航天員著陸點(diǎn),某一時(shí)刻A救援中心接到從P點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào),經(jīng)過4 s后,B、C兩個(gè)救援中心也同時(shí)接收到這一信號(hào),已知該信號(hào)的傳播速度為1 km/s.
(1)求A、C兩地救援中心的距離;
(2)求P相對(duì)A的方向角;
(3)試分析信號(hào)分別從P點(diǎn)處和P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)(如圖2,返回倉經(jīng)Q點(diǎn)垂直落至P點(diǎn))處發(fā)出時(shí),A、B兩個(gè)救援中心收到信號(hào)的時(shí)間差的變化情況(變大還是變小),并證明你的結(jié)論.
(1)以AB的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則
A(-3,0),B(3,0),C(5,2),
則|AC|==2(km),
即A、C兩個(gè)救援中心的距離為2 km.
(2)∵|PC|=|PB|,所以P在BC線段的垂直平分線上.
又∵|PB|-|PA|=4,所以P在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的左支上,且|AB|=6,
∴雙曲線方程為-=1(x<0).
BC的垂直平分線的方程為x+y-7=0,聯(lián)立兩方程解得: x=-8.
∴P(-8,5),∴kPA=tan∠PAB=-,
∴∠PAB=120°,
所以P點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏西30°方向上.
(3)如圖,設(shè)
|PQ|=h,|PB|=x,|PA|=y(tǒng),
∵|QB|-|QA|
=-
=
=(x-y)·,
又∵<1,
∴|QB| -|QA|<|PB|-|PA|,
∴-<-.
即從P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)處發(fā)出的信號(hào),然后A、B收到的時(shí)間差比從P點(diǎn)處發(fā)出的信號(hào),然后A、B收到的時(shí)間差變小.
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(本小題滿分13分)
某飛船返回倉順利返回地球后,為了及時(shí)救出航天員,地面指揮中心在返回倉預(yù)計(jì)到達(dá)的區(qū)域內(nèi)安排了三個(gè)救援中心(如圖1分別記為A,B,C),B地在A地正東方向上,兩地相距6km; C地在B地北偏東方向上,兩地相距4km,假設(shè)P為航天員著陸點(diǎn),某一時(shí)刻A救援中心接到從P點(diǎn)發(fā)出的求救信號(hào),經(jīng)過4s后,B、C兩個(gè)救援中心也同時(shí)接收到這一信號(hào),已知該信號(hào)的傳播速度為1km/s。
(I)求A、C兩上救援中心的距離;
(II)求P相對(duì)A的方向角;
(III)試分析信號(hào)分別從P點(diǎn)處和P點(diǎn)的正上方Q點(diǎn)(如圖2,返回倉經(jīng)Q點(diǎn)垂直落至P點(diǎn))處發(fā)出時(shí),A、B兩個(gè)救援中心收到信號(hào)的時(shí)間差的變化情況(變大還是變。,并證明你的結(jié)論。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年福建省福州三中高三練習(xí)數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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