Question

把所有正整數(shù)按上小下大，左小右大的原則排成如圖所示的數(shù)表，其中第i行共有2^i-1個(gè)正整數(shù)，設(shè)a_ij（i，j∈N^*）表示位于這個(gè)數(shù)表中從上往下數(shù)第i行，從左往右第j個(gè)數(shù)．
（1）求a₆₉的值；
（2）用i，j表示a_ij；
（3）記A_n=a₁₁+a₂₂+a₃₃+…+a_nn（n∈N^*），求證：當(dāng)n≥4時(shí)，An＞n+

C

3 n

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知條件可知每行的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是等比數(shù)列，據(jù)此可先算出前5行的數(shù)分別為1，2，4，8，16總共31個(gè)，從而得到a₆₉的值；
（2）觀察已知可得每行的第一個(gè)數(shù)是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，從而得a_i1=2^i-1，每列的數(shù)又構(gòu)成了以1為公差的等差數(shù)列，所以a_ij=2^i-1+j-1，根據(jù)該通項(xiàng)判斷300的位置
（3）利用（2）可得a_nn=2^n-1+n-1，用分組求和，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：由于第i行有2^i-1個(gè)數(shù)，前5行共有1+2+4+8+16=31個(gè)數(shù)
所以第6行的第9個(gè)數(shù)是正整數(shù)的第40個(gè)數(shù)，a69=25+(9-1)=40…（2分）
（2）解：因?yàn)閿?shù)表中前i-1行共有1+2+2²+…+2^i-2=2^i-1-1個(gè)數(shù)，則第i行的第一個(gè)數(shù)是2^i-1，
所以aij=2i-1+j-1…（5分）
（3）證明：因?yàn)?span id="0sygekm" class="MathJye">aij=2i-1+j-1，則ann=2n-1+n-1(n∈N*)，…（6分）
所以An=(1+2+22+…+2n-1)+[0+1+2+…+(n-1)]=2n-1+

n(n-1)

2

…（8分）
當(dāng)n≥4時(shí)，An=(1+1)n-1+

n(n-1)

2

＞

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

+

C

3 n

-1+

n(n-1)

2

=n2+

C

3 n

．…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題以表格的形式給出正整數(shù)的排序方式，其關(guān)鍵是由表中的排序觀察總結(jié)出每行的第一個(gè)數(shù)等比的規(guī)律及每行內(nèi)的數(shù)成等差的規(guī)律，從而得出任意一個(gè)數(shù)的通項(xiàng)公式，結(jié)合通項(xiàng)的特點(diǎn)，又考查了分組求和的方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、總結(jié)規(guī)律的能力，綜合運(yùn)用公式的能力．