【答案】
分析:法一(Ⅰ)證明平面PDC內(nèi)的直線CD,垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線PA,AD,即可證明CD⊥平面PAD,推出平面PDC⊥平面PAD;
(Ⅱ)連接AC、EC,取AD中點(diǎn)O,連接EO,說(shuō)明∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角,解三角形EFO求二面角E-AC-D的余弦值;
(Ⅲ)延長(zhǎng)AE,過(guò)D作DG垂直AE于G,連接CG,說(shuō)明∠DCH是直線與平面所成的角,解三角形DCG,求直線CD與平面AEC所成角的正弦值.
法二:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
(Ⅰ)利用
,
,推出CD⊥AD,CD⊥AP,說(shuō)明CD⊥平面PAD,證明平面PDC⊥平面PAD.
(Ⅱ)求出平面AEC的法向量
,平面ABC的法向量
,利用
求解即可.
(Ⅲ平面的法向量是
,求出
,利用
,求出直線CD與平面AEC所成角的正弦值
.
解答:解:法一:(Ⅰ)∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABC,
∴PA⊥CD.(2分)
∵ABCD是矩形,∴AD⊥CD.
而PA∩AD=A,∴CD⊥平面PAD.(4分)
CD?平面PDC∴平面PDC⊥平面PAD.(5分)
(Ⅱ)連接AC、EC,取AD中點(diǎn)O,連接EO,則EO∥PA,
∵PA⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD.
過(guò)O作OF⊥AC交AC于F,連接EF,
則∠EFO就是二面角E-AC-D所成平面角.(7分)
由PA=2,則EO=1.
在Rt△ADC中,AD×CD=AC×h解得h=
.
因?yàn)镺是AD的中點(diǎn),所以
.(8分)
而EO=1,由勾股定理可得
.(9分)
.(10分)
(Ⅲ)延長(zhǎng)AE,過(guò)D作DG垂直AE于G,連接CG,
又∵CD⊥AE,∴AE⊥平面CDG,
過(guò)D作DH垂直CG于H,則AE⊥DH,
所以DH⊥平面AGC,即DH⊥平面AEC,
所以CD在平面ACE內(nèi)的射影是CH,∠DCH是直線與平面所成的角.(12分)
∵
.CD=2
∴
.
∴
.(14分)
解法二:以A為原點(diǎn),AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,
AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,4,0),E(0,2,1),P(0,0,2).(2分)
∴
=(2,0,0),
=(0,4,0),
=(0,0,2),
=(-2,0,0),
=(0,2,1),
=(2,4,0). (3分)
(Ⅰ)∵
,∴CD⊥AD.
又∵
,∴CD⊥AP.(5分)
∵AP∩AD=A,∴CD⊥平面PAD,
而CD?平面PDC,
∴平面PDC⊥平面PAD.(7分)
(Ⅱ)設(shè)平面AEC的法向量
=(x,y,z),令z=1,則
.
由
即
∴
=
.(9分)
平面ABC的法向量
=(0,0,2).
.
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是
.(11分)
(Ⅲ)因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄渴?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023212147954842210/SYS201310232121479548422018_DA/33.png">=
,而
=(-2,0,0).
所以
.(13分)
直線CD與平面AEC所成角的正弦值
.(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查平面與平面垂直的判定,異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角,考查空間想象能力,邏輯思維能力,計(jì)算能力,是中檔題.