Question

10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點．
（1）求證：PB∥平面AEC；
（2）設PA=1，AB=$\sqrt{3}$，AD=2，求三棱錐B-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接BD，交AC于點O，連接OE．推導出PB∥OE．由此給證明PB∥平面AEC．
（2）由V_B-PCD=V_P-BCD，能求出三棱錐B-PCD的體積．

解答 證明：（1）連接BD，交AC于點O，連接OE．
∵四邊形ABCD為矩形
∴O為BD的中點．
又∵E為PD的中點．
∴PB∥OE．
∵PB?平面AEC，OE?平面AEC
∴PB∥平面AEC．…（6分）
解：（2）∵四邊形ABCD為矩形，$AB=\sqrt{3}，AD=2$．
∴${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}BC•CD=\frac{1}{2}×2×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．
∴三棱錐B-PCD的體積${V_{B-PCD}}={V_{P-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•PA=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（6分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．