Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當時，證明函數(shù)只有一個零點；

（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍

Answer 1

（Ⅱ）

解析:

（Ⅰ）當時，，其定義域是 

∴                     …………2分  

 令，即，解得或．

，∴  舍去．                           

當時，；當時，．

∴ 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減

 ∴ 當x =1時，函數(shù)取得最大值，其值為．

當時，，即．

 ∴ 函數(shù)只有一個零點．                ……………………6分

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域為

∴    ………7分

①當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……8分

② 當時，等價于，即

此時的單調(diào)遞減區(qū)間為．

依題意，得解之得．                     ………10分     

③ 當時，等價于，即

此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，

∴     得

綜上，實數(shù)的取值范圍是            …………12分

法二：

①當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意……8分

②當時，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，只需在區(qū)間

上恒成立，只要恒成立，

解得或

綜上，實數(shù)的取值范圍是            …………12分